«…Поверил

Я алгеброй гармонию. Тогда

Уже дерзнул, в науке искушенный,

Предаться неге творческой мечты».

А. С. Пушкина «Моцарт и Сальери»

 

«Симметрия, как бы широко или узко мы не понимали это слово, есть идея,

с помощью которой человек пытался объяснить и создать порядок,

красоту и совершенство"

                                                                              Герман Вейль

 

Признаюсь сразу: в этой статье практически нет моих слов. Я всю информацию взяла из книг и Википедии. И составила я этот краткий экскурс в кристаллографию скорей для себя, чтобы быстро забываемые картинки и примеры всегда были под рукой. Буду признательна за любые дополнения и исправления.

Итак, речь пойдет о кристаллах минералов, о красоте и совершенстве этих творений природы. Часто люди не могут поверить, что кристаллы – это природные объекты, а не создания рук человеческих. В чем же секрет их красоты? И первый ответ, который приходит на ум – в их симметричности. Тут уже возникает новое понятие – симметрия, казалось бы, такое простое и обыденное. Но это лишь на первый взгляд. На самом деле симметрия – очень сложное и многогранное явление. Ее изучают и физики, и математики, и биологи, и даже искусствоведы. Изучают не одно тысячелетие, а загадок и вопросов  меньше не становится. Пожелаем же нашим ученым новых открытий и Нобелевских премий, а сами остановимся на симметрии геометрической, которая необходима для изучения кристаллов-многогранников.

Геометрическая симметрия — это наиболее известный тип симметрии. Геометрический объект называется симметричным, если после того как он был преобразован геометрически, он сохраняет некоторые исходные свойства. Например, круг, повёрнутый вокруг своего центра, будет иметь ту же форму и размер, что и исходный круг.

Кристаллы - твёрдые тела, имеющие приобретённую путём естественного роста форму правильных многогранников. Эта форма является следствием упорядоченного расположения в кристалле атомов, образующих трёхмерно-периодическую пространственную укладку - кристаллическую решётку.

В литографии Маурица Корнелиса Эшера (нидерландский художник, философ, математик и кристаллограф) из серии ‘‘Многогранники’’ есть работа под названием ‘‘Порядок и хаос’’. В центре изображения идеальный кристалл совершенной формы, а кругом различные деформированные предметы. И не нужно никакой науки чтобы сразу подсознательно решить, что на этой картине красиво, а что нет.

Симметрия – первостепенный диагностический признак минералов, поэтому основные понятия кристаллографии надо понять и научиться ими пользоваться. Для того, чтобы научиться распознавать кристаллы и правильно их описывать, необходимо знать значения некоторых терминов. Давно замечено, что 90 процентов знания любой науки – это знание терминологии. Согласно определению симметрии, данному минералогом и кристаллографом Евграфом Степановичем Федоровым,  "Симметрия есть свойство геометрических фигур повторять свои части, или, выражаясь точнее, свойство их в различных положениях приходить в совмещение с первоначальным положением". Таким образом, симметричным является такой объект, который может быть совмещён сам с собой определёнными преобразованиями: поворотами вокруг осей симметрии, центра симметрии или отражениями в плоскостях симметрии. Итак, прежде всего, элементы симметрии – это вспомогательные геометрические понятия, которые введены для описания степени симметричности кристаллов (многогранников). Это центр, ось и плоскость симметрии.

                                                                                                        а - плоскость симметрии, в - ось симметрии, с - центр симметрии

 

Центр симметрии(С) - это воображаемая точка внутри многогранника. Если через эту точку провести любую прямую линию, то по обе стороны от  нее эта линия пересечет одинаковые (соответствующие) точки многогранника. Если по одну сторону от С находится вершина, то по другую сторону – парная ей вершина. То же относится к любым точкам на гранях и ребрах. Проверить есть ли в кристалле центр симметрии можно, положив кристалл на горизонтальную поверхность. Если все грани и ребра кристалла попарно параллельны и инверсионно равны, то центр симметрии в таком кристалле есть. Если центр симметрии отсутствует, то вверху окажется вершина, ребро или грань, но наклонная или параллельная, но не равная нижней.

Ось симметрии(L) – это воображаемая прямая, при вращении вокруг которой многогранник совмещается со своим первоначальным положением. Число совмещений при полном повороте (на 360 градусов) вокруг оси симметрии есть порядок оси симметрии. В кристаллах минералов могут быть оси симметрии только четырех порядков: второго L₂(кристалл совмещается сам с собой при повороте на 180 градусов), третьего L₃(при повороте на 120 градусов), L₄(при повороте на 90 градусов) и L₆(при повороте на 60 градусов).

Концы осей симметрии в кристаллах могут выходить через вершины, центры граней или середины ребер. При определении осей симметрии именно за эти элементы и нужно брать кристалл двумя пальцами и вращать его вокруг этой оси. При этом ось симметрии следует располагать вертикально, а кристалл держать на уровне глаз.

Если в кристалле имеется три оси четвертого порядка, это записывается так: 3L_4, если четыре оси третьего порядка - 4L_3.

Потренировавшись немного, можно, например, вывести формулу, которая описывает куб и октаэдр: 3L₄4L₃6L₂9РС

Плоскость симметрии (Р) делит многогранник на две зеркально-равные части. В кристалле может быть одна или несколько плоскостей симметрии, но не больше 9. Для определения плоскости симметрии кристалл мысленно рассекаем плоскостью, проходящей через его центр. Если слева и справа от этой плоскости все части кристалла (грани, ребра, вершины) будут повторяться как предмет и его зеркальное отражение, то это плоскость симметрии.

Во многих книгах пользуются еще понятием «Единичное направление» - это единственное, не повторяющееся по длине, направление в многограннике. Например, в пирамиде или призме с квадратным основанием это их высота.

Рассмотрим несколько простых предметов: линейку, карандаш, кубик. Все они симметричны, но степень симметрии у них разная. Самый симметричный – кубик, он симметричен со всех сторон. Если его закрутить и подкинуть в воздух, вы увидите вращающийся шар. Такие кристаллы называются изометричными. А карандаш, как ни закручивай, в шар не превратится. Очевидно, многогранники различаются по степени симметрии. Для описания степени симметрии все многогранники разбили на 3 категории: низшую, среднюю и высшую, которые в свою очередь подразделяются на 7 кристаллографических систем, которые назвали словом «Сингония». В низшей и средней категории по 3 сингонии, в высшей - одна.Рассмотрим теперь различные кристаллы, сгруппировав их по степени симметрии, или по принадлежности к той или иной сингонии, начиная с самой низшей, т.е. менее всего симметричной.

НИЗШАЯ КАТЕГОРИЯ

Простые формы кристаллов низшей категории (триклинной, моноклинной и ромбической сингоний):

а - моноэдр, б - пинакоид, в,г - диэдры плоскостной и осевой, д - ромбическая призма, е - ромбические тетраэдры правый и левый, ж,з - ромбические пирамида и дипирамида

 

1.     Триклинная сингония (параллелепипед)

В триклинической сингонии из всех элементов симметрии может присутствовать только центр С. Все направления в кристалле единичные. Все три оси имеют разную длину и пересекаются под острыми углами. Это система с самым низким уровнем симметрии. Общая форма — пинакоид; поскольку каждая форма состоит из пары параллельных граней, в реальных кристаллах должно существовать не меньше трех таких форм. Характерные простые формы: моноэдр, пинакоид.

                                                                                                                       Моноэдр                            Пинакоид                           Диэдр

 

Минералы, кристаллизующиеся в триклинной сингонии: аксинит, амблигонит, астрофиллит, бирюза, битовнит, волластонит, кианит, микроклин, родонит, улексит, плагиоклазы (альбит - анортит)

Кристалл кианита

 

2.     Моноклинная сингония (призма с параллелограммом)

В моноклинной сингонии каждый элемент симметрии присутствует в кристалле в единственном числе. Единичных направлений много. Три неравные оси, только две из них пересекаются под прямыми углами. Общим элементом симметрии является ось второго порядка L₂ или плоскость Р (под прямым углом к оси) и центр симметрии. Характерные простые формы: моноэдр, пинакоид, диэдр, призма.

 

Минералы: азурит, амфиболы моноклинные (актинолит, арфведсонит, глаукофан, роговая обманка, тремолит),  арсенопирит, аурипигмент, вивианит, вольфрамит, гейландит, гипс, датолит, диопсид, клиноцоизит, крокоит, кунцит, малахит, ортоклаз,  петалит,  пироксены моноклинные (диопсид, геденбергит, авгит, жадеит, эгирин, сподумен), реальгар, слюды, стильбит, сфен, тальк, эвклаз, эпидот.

 

Авгит                                                                                                                      Гипс

Датолит                                                                                                                  Клиноцоизит

 

Ортоклаз                                                                                                              Слюда флогопит*

Сподумен                                                                                                                      Стильбит

 

* На первый взгляд кажется, что в основании кристалла флогопита лежит правильный шестиугольник, и этот кристалл следует отнести к гексагональной сингонии, но при измерении ребер оказывается, что они немного не равны, такие кристаллы называют псевдогексагональными.

 

 

Эгирин                                                                                                                     Эпидот

 

3.     Ромбическая сингония (прямоугольный параллелепипед)

В ромбической сингонии отсутствуют оси симметрии выше второго порядка. Общим элементом симметрии является 3L₂ или L₂, 2Р. Три взаимно перпендикулярные единичные направления. Кристаллы в сечении имеют ромб. Характерны три неравные оси, перпендикулярные друг другу.  Элементы симметрии: 3 неравные взаимно перпендикулярные оси второго порядка, 3 плоскости (под прямым углом к осям) и центр симметрии. Характерные простые формы: моноэдр, пинакоид, диэдр, призма, пирамида, дипирамида, тетраэдр.

 

Минералы: андалузит, антимонит, арагонит, барит, гемиморфит, данбурит, ильваит, кордиерит, марказит, натролит, перидот, пироксены ромбические (гиперстен, энстатит), пренит, сера, ставролит, стронцианит, топаз, хризоберилл, целестин, церуссит 

 

Барит                                                                                                                      Топаз

                               Данбурит

            Сера

 

                                                                                                    СРЕДНЯЯ КАТЕГОРИЯ

 

Призмы, пирамиды и дипирамиды средней категории и их сечения. а- тригональная, б - дитригональная, в - тетрагональная, г - дитетрагональная, д - гексагональная, е - дигексогональная

Простые формы кристаллов средней категории: а - ромбоэдр, б - тригональный скаленоэдр, в - дитригональный скаленоэдр

 

Трапецоэдры. а,б - тригональный правый и левый, в,г - тетрагональный правый и левый, д,е - гексагональный правый и левый

 

4.     Тригональная сингония (призма с основанием правильного центрированного треугольника)

В тригональной сингонии одно единичное направление, совпадающее с осью L_{3 .} Характерный элемент симметрии: L_3.  Четыре оси: три равные, расположены в одной плоскости, четвертая неравная и перпендикулярная им.

Характерные простые формы: моноэдр, пинакоид, призма, пирамида, дипирамида, трапецоэдр, скаленоэдр, ромбоэдр.

 

Минералы: гематит, диоптаз, доломит, ильменит, кальцит, киноварь, корунд, кварц, магнезит, родохрозит, корунд, сидерит, смитсонит, турмалин, фенакит, шабазит, эвдиалит

 

Кварц идеальный и реальный

Кальцит                                                                                                              Корунд

Турмалин и его поперечное сечение в виде выпуклого треугольника

 

5.     Тетрагональная сингония (прямоугольный параллелепипед с квадратом в основании)

В тетрагональной (квадратной) сингонии общим элементом симметрии является L₄. Обычно у кристаллов этой сингонии есть квадратное поперечное сечение и одно единичное направление, совпадающее с L₄. Три оси взаимно перпендикулярны, из них две равны друг другу.

 

Характерные простые формы: моноэдр, пинакоид, призма, пирамида, дипирамида, тетраэдр, трапецоэдр, скаленоэдр.

Минералы: анатаз, апофиллит, везувиан, вульфенит, касситерит, рутил, скаполит, халькопирит, циркон, шеелит

Везувиан                                                                                                          Циркон

Рутил

 

6.     Гексагональная сингония (призма с основанием правильного центрированного шестиугольника)

В гексагональной сингонии одноединичное направление совпадает с  L_6. Общим элементом симметрии для кристаллов гексагональной сингонии является ось L₆.  Четыре оси: три равные, расположенные в одной плоскости и пересекающиеся под углом 60 градусов, четвертая неравная и перпендикулярная им.

Характерные простые формы: моноэдр, пинакоид, призма, пирамида, дипирамида, трапецоэдр

Минералы: апатит, ванадинит, берилл, канкринит,  молибденит, нефелин, пироморфит, пирротин

 

Апатит                                                                                                                   Берилл

Ванадинит

 

                                                                                                              ВЫСШАЯ КАТЕГОРИЯ

Формы кристаллов высшей категории

 

7.     Кубическая сингония

Кубическая сингония отличается наибольшей степенью симметрии. Общим элементом является 4L₃. Единичные направления отсутствуют, все направления симметрично равные. Кристаллы равномерно развиты по всем направлениям, кристалл можно вписать в шар.

Характерные простые формы: куб, октаэдр, тетраэдр, додекаэдр, дидодекаэдр.

Минералы: алмаз, анальцим, галенит, галит, гранаты, куприт, лазурит, лопарит, магнетит, пирит, пирохлор, содалит, сфалерит, тетраэдрит, флюорит, хромит, шпинель.

 

Алмаз                                                                                                                  Гранат альмандин

Куприт                                                                                                                Магнетит

Пирит

Флюорит                                                                                                           Шпинель

 

Кристаллография описывает идеальные кристаллы, а мы имеем дело с реальными, которые часто сильно отличаются от своих идеальных прототипов. Вот, например, как могут в реальности выглядеть кристаллы андрадита – минерала кубической сингонии.

 

 

Кроме того, кристаллы одного минерала могут иметь разную форму (у кальцита, например, таких форм несколько сотен), но углы между их соответствующими гранями неизменны – это основной закон кристаллографии. Сейчас появились очень хорошие ресурсы, в которых кристаллы представлены в виде объемных многогранников, да еще и с возможностью крутить их как захочется. Для каждого минерала представлено по нескольку характерных типов кристаллов. Посмотрите, например, на эту страницу Миндата: http://www.mindat.org/min-859.html , и вы убедитесь как теперь легко и интересно стало изучать кристаллографию. 

В заключении еще совсем немного теории. Нам часто приходится сталкиваться с тем, что специалисты обозначают грани кристалла какими-то цифрами в скобках, например: (101), (001) и т.д. Эти обозначения называются индексами граней, и в этих индексах нет ничего сложного. Сложность заключается лишь в том, что писать про эти пространственные объекты приходится, используя плоские картинки, и работа с одним-единственным кристаллом поможет гораздо больше, чем рассматривание сотен картинок. Итак, представим себе декартовы оси координат XYZ, отметим на каждой оси отрезок, равный единице или а, как на картинке, и представим себе плоскость, которая пересекает ось X в точке а, и параллельна плоскости YZ. Это и будет плоскость (100). Если немного подумать, то мы поймем, что и все параллельные ей плоскости тоже будут иметь такой же индекс. Плоскость, параллельная плоскости XZ, имеет индекс (010), а параллельная XY– индекс (001). Если же представить себе плоскость, которая пересекает оси X и Y в точках а, и параллельна оси Z, то такая плоскость будет иметь индекс (110) и т.д. Если грань параллельна оси, то ее индекс по этой оси равен нулю. Пересечение с отрицательной частью оси обозначается минусом – черточкой над соответствующим индексом.

 

 

 

Как видим, ничего сложного. Осталось только договориться как размещать кристалл в воображаемой системе координат, ведь от того, как расположен кристалл в пространстве, зависит и положение его граней относительно воображаемой системы координат. Общее правило такое: самую длинную ось совмещают с осью Z. Более подробно эти правила приведены в таблице.